Зелимхан Джабраилович Бакаев родился 1 июля 1996 года в Назрани. В футбол маленького Зелимхана привел отец, Джабраил, который некоторое время выступал за местный «Ангушт». До десяти лет Бакаев вместе с семьей жил в Ингушетии, но не занимался ни в одной секции. Тренировки ограничивались занятиями с отцом.
В 11 лет Бакаев поехал в Москву. Первый просмотр состоялся в «Локомотиве» — после второй тренировки Зелимхану сообщили, что он не подходит клубу. Уже дальше случился «Спартак» — в академии красно-белых Бакаев провел семь лет, с 2007 по 2013 год.
В сезоне-2013/14 Бакаев дебютировал в молодежном первенстве, а уже в сезоне-2014/15 флангового полузащитника перевели в «Спартак-2». Тогда Зелимхан выступал на левом краю и был не очень результативен — 14 голов за пять сезонов.
В основу Бакаева поднял Дмитрий Аленичев (при нем дважды выходил на замену в матчах Кубка России), но дебют в РПЛ состоялся уже при Массимо Каррере на старте сезона-2017/18. Закрепиться в постчемпионской команде у Зелимхана не получилось — летом 2018-го он уехал в аренду в тульский «Арсенал».
В Туле Бакаева прорвало — постепенно Олег Кононов перевел Зелимхана на правый фланг. Благодаря смене позиции Бакаев получил возможность уходить в центр и бить или отдавать острую передачу левой ногой. В итоге Бакаев забил 8 голов (1 — с пенальти) и вошел в десятку лучших игроков РПЛ по количеству успешных обводок.